第182章 给流体力学换了一双眼睛（2 / 2）

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和乐，这是他熟悉的概念。

在规范场论里，和乐描述了粒子在规范场中沿著闭合路径运动时波函数获得的总相位。

在广义相对论里，和乐描述了矢量沿著闭合路径平行移动后的方向变化。

但他从来没想过，和乐可以用到流体力学里。

流体力学和微分几何，这两个领域之间隔著一道深深的鸿沟。

一边是偏微分方程，是数值模擬，是雷诺数、湍流、边界层；另一边是联络、曲率、纤维丛、示性类。

两边的学者说著不同的语言，用著不同的工具，关心著不同的问题。

肖宿把这道鸿沟填上了。

周忠低下头，继续验算。

论文的第二章，肖宿做了这样一个构造。

考虑三维空间中的一个不可压缩流体，在每一点上，流体的旋转可以用一个反对称张量来描述，这就是涡量。

涡量可以看成是so李代数的一个元素，而so是三维旋转群。

然后肖宿把这个so李代数值的涡量场，看成是一个主丛上的联络。

主丛是微分几何里的核心概念。

简单来说，它描述了一个“基空间”上每一点都“长”著一个“纤维”，这些纤维拼在一起形成一个整体结构。

在主丛上定义一个联络，就是告诉你在基空间上走的时候，纤维里的东西要怎么跟著变化。

肖宿构造了基空间是流体力学的位形空间，也就是流体所在的三维区域；纤维是so旋转群，代表著流体微团的取向；而涡量场，就是这个主丛上的一个联络。

这个构造本身已经够漂亮了。

但肖宿没有停在这里。

他在这个主丛上定义了一个和乐算子。

给定一条闭合的流线，也就是流体中一个首尾相连的环路，沿著这条环路对联络做积分，就能得到一个so中的旋转。

这个旋转，就是和乐。

肖宿把这个和乐算子记作h，其中γ是那条闭合流线。然后他证明了一个核心公式：

h=pexp

那个“pexp”是路径有序指数，在规范场论里很常见。

Ω是涡量张量，在几何语言里就是联络的曲率。

这个公式它把沿著一条闭合流线的和乐和流线上每一点的涡量联繫了起来。

就像微积分基本定理把函数在区间两端的值和它的导数在区间內的积分联繫起来一样。

但肖宿做的比这更多。

他证明了，这个和乐算子是一个几何不变量。

什么意思

就是说，如果你对流场做一个光滑的变形，不撕裂、不粘合，只要流体的整体拓扑结构不变，和乐就不会变。

这就像把一个圆环拉成一个椭圆，周长变了，面积变了，但它还是一个圆环，中间那个洞还在。

和乐捕捉的就是那个洞还在的信息。

周忠推到这里的时候，手里的铅笔停了一下。

他意识到了这个方法的重要性。